Sabino Villaveirán: «El camino hacia el número»

La necesidad de contar, de cuantificar, representó  siempre un desafío para el ser humano.  Sin embargo el origen de los símbolos numéricos, de los números tal como los conocemos hoy en día data del año 7000 (a.C.). Los egipcios establecieron un sistema de numeración en base 10 con signos específicos. Hacia el 4000 (a.C.) los babilonios inventaron el sistema sexagesimal, o sea en base 60, que se utiliza actualmente para la medición del tiempo. Ya en el año 570 (a.C.) los hindúes crearon un sistema que se apoyaba en la agrupación en base 10; pero introducía el valor posicional del dígito. Este sistema ingresó a Europa por intermedio de los árabes. La civilización maya, entre los años 400 y 300 (a.C) creó un complejo sistema de numeración en base 20 e introdujo el cero como indicador de la nada, un signo que establecía la no cantidad. El Imperio Romano de Occidente, hacia el año 300 creó su propio sistema de numeración cuyos símbolos son letras que representan cantidades absolutas. Se trata de un sistema aditivo a la derecha de un símbolo mayor y sustractivo a la izquierda. Si quisiéramos escribir el año en que estamos, en números romanos deberíamos escribir: MMXXIII.  

La cantidad, el número, y las relaciones entre ellos representan, también un desafío en la educación preescolar y primaria. Mucho se ha escrito acerca de la forma en que los seres humanos accedemos a la noción del número. En este artículo intentaré especificar cómo es que lxs niñxs adquieren la idea de cantidad, el concepto del número y posteriormente la del cálculo. Será un viaje de dos o tres páginas que representan entre cuatro y cinco años en la formación de una persona. Espero resolver con eficacia conceptual y narrativa tamaña asimetría. De no ser así, lxs lectores podrán evacuar las dudas que pudieran quedarles mandando sus inquietudes por escrito a la revista.

Para fundamentar los conceptos que amueblan esta nota me he basado en los Seis Estudios* de Jeam William Fritz Piaget**. Para brindarle al lector un primer marco de referencia, lo primero que hay que decir es que toda la teoría pedagógica de Piaget se basa en el constructivismo. Lo segundo es que es una corriente de pensamiento contraria al enciclopedismo o conductismo. En tercer término conviene establecer las diferencias que existen entre ambos. Según el enciclopedismo, lxs docentes son los propietarios del conocimiento y lo imparten a lxs alumnxs quienes lo asimilan y lo reproducen. Se basa en la memoria y quien posea la mejor será el o la mejor alumna o alumno. Para el constructivismo lxs docentes son un vehículo que brinda las herramientas, el andamiaje para permitir que lxs alumnxs vayan edificando el conocimiento de acuerdo a sus experiencias y a su tiempo propio. Me voy a abstener de explicar las bondades y defectos que presentan y representan cada una de las modalidades. Cada lector hará sacará sus conclusiones.    

Para ir entrándole al asunto cabe decir que, hoy en día, al ingresar en el sistema educativo escolar, lxs niñxs ya cuentan con una noción aproximada de lo que son los números y los que representan. También es cierto que la adquisición de tal noción varía según el contexto socio-cultural en que se desarrollen. Como en todos los ámbitos de la vida la motivación y la estimulación resultan vitales para el logro de los propósitos. Como ningún otro estamento educativo, la Escuela Pública recibe niños de diferentes estratos sociales, culturales, religiosos y a todxs les brinda las mismas oportunidades. La adquisición del concepto y la función del número no es la excepción.

Actualmente lxs niñxs ingresan en el sistema educativo a los tres años. Según el enfoque psicogenético que establece Jean Piaget se encuadran todavía en el segundo de los cuatro estadíos del desarrollo cognitivo: período preoperatorio. Al primer período, que va desde el nacimiento hasta el año y medio o dos lo llamó: período sensomotor, al tercero: período de las operaciones concretas y al cuarto: período de las operaciones formales. Luego establece un gran número de subperíodos dentro de los cuatro mencionados; pero su enumeración y explicación no haría más que complicar la lectura y desviaría la atención del meollo del artículo.

Volviendo al tema, el camino hacia el número pasa por cuatro estaciones básicas o primordiales que van a ser el fundamento de tal saber, y en las que habrá que detenerse hasta que lxs ninxs adquieran la sustancia medular que brindan y que constituyen la base sobre la que se apoyará el conocimiento siguiente. Estas cuatro estaciones son: Comparación, Correspondencia, Clasificación y Seriación. Los saberes y destrezas a las que lxs niñxs acceden en cada una de ellas están sustentadas en una serie de actividades específicas. Dentro del ámbito escolar, en la salita, lxs niñxs interactúan libremente con los objetos mediante el juego. De esta manera establecen y distinguen características propias de los objetos a partir de compararlos entre ellos. De la comparación surge la correspondencia. La correspondencia puede establecerse por similitud o por complementariedad. En el primer caso, por ejemplo, se puede proponer una correspondencia a partir del color de los objetos, los objetos se agrupan teniendo en cuenta su color. En cambio la correspondencia por complemento implica un razonamiento más avanzado ya que los objetos están incompletos, necesitan de otra parte para ser algo. Para familiarizar a lxs niñxs con esta característica se utilizan rompecabezas, tarjetas con elementos complementarios que deben agrupar, como por ejemplo cubiertos-comida; jarra con agua-vaso, o juegos de encastres. Estas dos actividades derivan y propician la posibilidad de clasificar, es decir la formación de subgrupos, para llegar por último a la seriación, lo que supone otro paso en el camino ya que implica un ordenamiento de los elementos, por ejemplo del más chiquito al más grande. La capacidad de realizar seriaciones acerca a lxs niñxs a un saber que incorporará más adelante, que es la doble característica del número de cardinalidad y de ordinalidad.

El viaje continúa y el número espera en la última estación. No está de más recordar en este momento qué es lo que dice Piaget acerca de él. Para Piaget el número es “una colección de unidades iguales entre sí y una serie ordenada, una seriación de relaciones de orden. El número no es ni un simple sistema de inclusiones, ni una simple serie, sino una síntesis de ambas que se fusionan en el momento en que se produce la abstracción. Su construcción es producto de una construcción mental que realiza cada niñx”. Esto quiere decir que lxs niñxs habrán desarrollado la noción de número cuando logren agrupar objetos formando clases y subclases y, al mismo tiempo ordene esos objetos formando series.

Más adelante en el desarrollo evolutivo de lxs niñxs, entre los cuatro y cinco años, es ya posible incorporar otros conceptos que los acercan más al número. Piaget propone la siguiente experiencia. Se colocan, digamos, ocho fichas de un color y se le pide al niñx que coloque otras tantas fichas de otro color formando otra fila debajo. El niño o la niña armará una fila de la misma longitud de la primera, sin importarle la cantidad de elementos. Esto constituye un gran avance ya que logró hacer una fila del la misma longitud que la primera; pero aún no puede hacer una correspondencia entre la cantidad de elementos que las componen. En este momento, ante esta respuesta el o la docente puede intervenir preguntando cuál fue el criterio de esa acción; pero nunca es conveniente que le indique el error por la sencilla razón de que no lo hay. Los conceptos numéricos no se pueden enseñar, ya que lxs niñxs lo construyen dentro suyo, a partir de su propia capacidad natural para pensar. La conformación de “su” fila de fichas es perfectamente certera porque lo concreto y lo que prepondera es la longitud de la misma que es igual a la primera. La noción de correspondencia uno a uno aún no forma parte de su estructura psíquica. En cambio entre los cinco o seis años es capaz de colocar una de sus fichas debajo de cada una de fila propuesta. La siguiente acción del docente es separar las fichas de la primera fila de manera que tenga mayor extensión. Al preguntarle al niño cuál tiene más dirá que la primera porque es más larga. Es decir que para estx niñx existe equivalencia mientras haya correspondencia visual, tampoco le importa aquí la cantidad. Hacia final de los seis años y comienzo de los siete aparecen dos comportamientos que dan cuenta del avance cognitivo de lxs niñxs, que Piaget llamó “Reversibilidad” y “Compensación”. Ante la separación de las fichas realizada por el o la docente que hace que una fila sea más larga que la otra, lxs niñxs responden que se puede volver a reducir para hacer coincidir otra vez los elementos de ambas (reversibilidad) o que esas separaciones son las que provocan la diferencia en el largo de las filas; pero que la cantidad de elementos es la misma (compensación). Estas respuestas demuestran que estxs niñxs entraron en la etapa del pensamiento lógico. Han arribado la conservación de la cantidad, al número.

La cuestión del cálculo, la posibilidad de operar con los números para poder resolver situaciones matemáticas en la vida cotidiana, será motivo del próximo número (ya que estamos hablando de eso) de la revista. 

*Seis Estudios de Psicología. Publicado en 1964
** Jean William Fritz Piaget (1896-1980). De nacionalidad suiza. Fue psicólogo, epistemólogo y biólogo.      

Sabino Villaveirán, escritor, tallador y escultor en madera, profesor para la enseñanza primaria en la escuela pública.

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